La physique des sons

 » La musique existe-t-elle si personne ne l’écoute ? « 

Même si chaque musicien gagne à réfléchir à cette question d’un point de vu général, elle n’est pour nous qu’un prétexte à rechercher le support matériel du son que chacun peut entendre sortir de son instrument. Si l’on ferme les portes d’un musée le travail du peintre ou du sculpteur persiste, la musique, elle, est une impression éphémère qui s’évanouit lorsque l’interprétation cesse. Un physicien provocant écrirait volontiers que la musique se ramène finalement aux mouvements des molécules d’air. L’erreur serait de taille puisqu’elle reviendrait à confondre la musique avec son support, son média dirait-on aujourd’hui. Cependant nous adopterons une approche constructive et nous essayerons de dévoiler quelques liens qui d’une vibration aux complexités de la composition unissent tous ces phénomènes.

Les ondes sonores

L’oreille est sensible à des vibrations de la pression de l’air sur les tympans. Afin de prendre conscience de la formidable sensibilité de nos oreilles, rappelons que le seuil de sensibilité normal d’une oreille est de 2*1010 bar. Pour comparaison lorsque le baromètre indique du mauvais temps la pression chute de 0.02 bar soit presque un milliard de fois plus. Paradoxalement nous ne sommes pas assourdis par les changements de météo car dans ce cas, la variation est très lente, et l’oreille ne perçoit que les variations rapides.

Afin de relier ces notions aux entités musicales courantes, considérons le son émis par un hautbois.

1. Dans un premier temps en souflant dans son instrument l’interprète met l’air en mouvement ce qui crée une surpression.
2. L’air qui est initialement comprimé à la sortie du hautbois va s’échapper un peu plus loin laissant la place à l’air qui est expiré par le (ou la) hautboïste. Ainsi les surpressions vont se propager dans l’air.
3. Cette propagation se faisant à la vitesse du son (Le son se propage environ à 340 m/s dans l’air.), la succession de surpressions va arriver jusqu’à nos oreilles successivement dans le temps et faire vibrer nos tympans.
4. Nous entendons la note émise.

Sur la figure 1 nous pouvons appréhender deux grandeurs fondamentales :
 La fréquence correspond à la hauteur du son que l’on perçoit ; la note. On l’exprime en Hertz. Un la3 correspond généralement à 440 Hz c’est à dire que orsque l’on écoute la tonalité du téléphone nos tympans font 440 aller/retour par seconde.
 L’intensité sonore, correspond à l’amplitude des oscillations de l’air et donc des tympans. On mesure cette intensité I en décibel (dB) :

$Delta P_0 correspond à la plus petite variation de pression que nous puissions détecter, dans ce cas I=0dB, nous n’entendons rien. Cette définition prend bien en compte le fait que nous soyons sensible à la pression. Mais pourquoi introduire un logarithme ? Le physiologiste Fechner a montré que si la variation de pression quadruplait nous avions l’impression que le volume était simplement doublé, on dit que la réponse de l’oreille n’est pas linéaire. C’est uniquement ce que traduit cette formule.

L’approche mathématique du timbre des instruments

La mécanique des fluides décrit de manière très convenable la propagation du son dans les milieux par une équation dite harmonique :

« c » correspond à la vitesse du son (sa célérité) dans le milieu, elle est bien sûr dépendante de la température, de la pression et de la composition du gaz. On peut dire que dans l’air, par exemple, le son se propage environ à 340 m/s. Plus le milieu est dense plus le son se propage vite, ainsi lors d’un tremblement de terre on ressent d’abord les vibrations par le sol avant d’entendre le son de l’onde de choc avec ses oreilles. A l’inverse dans le vide, la densité de molécules est si faible (pour ne pas dire nulle) que la vitesse du son est quasi nulle ; en d’autres termes le son ne propage pas. Voila pourquoi les doubles vitrages apportent une excellente isolation phonique. La musique, aussi riche soit elle, doit se plier à ce mode de propagation des sons. Les mathématiciens expliquent que les solutions de cette équation de propagation harmonique sont des sinusoïdes parfaites, autrement dit, des notes complètement détimbrées telles celles émises par une flûte.

Comment expliquer alors le timbre des instruments ? Le mathématicien Fourier a montré que tous les sons pouvaient être décomposés en somme de notes simples. Si l’on superpose suffisamment de notes de flûte on peut donc obtenir le timbre de n’importe quel instrument. Prenons l’exemple d’une onde « carrée » telle que représentée sur la figure 2, nous voyons qu’il est possible de la décomposer en une somme d’ondes sinusoïdales du type note de flûte.

Nous avons vu que l’on pouvait construire n’importe quel son en superposant des notes simples et sans timbre. L’analyse du timbre procède exactement de la démarche inverse qui consiste une fois que l’on a le son à trouver toutes les notes simples qui le composent. On effectue alors sa décomposition spectrale ou harmonique. Le timbre d’un instrument est donc complètement déterminé par l’ensemble des notes simples qu’il contient, les physiciens parlent du spectre sonore.

Décomposition d’une note complexe comme superposition de notes simples. (a) La note complexe (b) La note simple de même fréquence fondamentale (c) Deux notes de fréquence et d’amplitude différentes (d) Avec simplement 5 notes simples superposées, nous retrouvons pratiquement la note complexe. Dans la réalité, la somme contient une infinité de termes (on parle de la série de Fourier) et l’on retrouve exactement la note complexe.

Entre piano et clavecin

Cette analyse spectrale peut se faire naturellement de manière expérimentale mais également mathématique. Nous allons voir que grâce aux idées de Fourier, nous pouvons facilement prédire la différence de son entre un piano et un clavecin. Dans les deux cas nous avons une corde vibrante qui va produire un son. Les vibrations de cette corde sont soumises, sous certaines conditions, à la même équation harmonique que les ondes sonores. Nous allons donc pouvoir expliciter complètement les harmoniques successives d’un son émis par un piano ou par un clavecin.

Si les vibrations des deux cordes sont soumises à la même équation d’où vient la différence ?

Le piano frappe la corde qui initialement est rectiligne alors que le clavecin pince la corde et lui imprime, juste avant la vibration, une forme différente, les physiciens parlent d’une différence de conditions aux limites. Cette simple différence suffit à modifier la décomposition en notes élémentaires ce qui est donc perçue par l’oreille du musicien comme un timbre différent. Il apparaît par exemple clairement sur la Figure 3 que le spectre du piano est nettement plus riche que celui du clavecin.

Spectres sonores théoriques (a) le piano (b) le clavecin. On note que le clavecin avec des harmoniques beaucoup plus faibles conduit à un son nettement moins riche que le piano.

Conclusion

La notion de timbre est donc aujourd’hui quelque chose d’assez bien maîtrisée. Au moins dans sa partie expérimentale, les physiciens savent quantifier très précisément le timbre de chaque instrument. La démarche constructive du spectre reste quant à elle beaucoup plus hardie. Les nombreuses discussions passées et à venir avec des facteurs de pianos montrent que si le théorème de Fourier reste exact, les conditions aux limites ne sont pas suffisamment bien maîtrisées pour modéliser assez finement un piano et prédire son spectre sonore réel. Il est important de noter que la démarche qualitative permet cependant, dès aujourd’hui, de lier le timbre d’un instrument avec sa facture.

Conclusion

L’approche uniquement physique des ondes sonores si elle n’a laissé que peu de place à l’intelligence des œuvres jusqu’à maintenant montre le lien très précoce qui unis les sons et les mathématiques. Nous retiendrons que la hauteur d’une note peut être représentée par une fréquence en Hertz et que son intensité s’exprime en décibel et correspond à l’amplitude des variations de pressions reçues par le tympan. Enfin le timbre des instruments peut être résolu complètement si l’on connaît leur spectre sonore.